Matematičar Eric Harshbarger i tim saradnika rešili su problem „pravednih“ kocki: set od pet kocki sa po 60 strana koji pokriva jedinstvene brojeve od 1 do 300 i nikada ne daje izjednačenje. Rešenje garantuje da bilo koji podskup igrača ima jednake šanse, a dodatno osigurava da su svi redosledi igrača jednako verovatni (permutaciona pravičnost). Konačna konfiguracija otkrivena je 2023. uz pomoć programera Paula Meyera, a velike drvene replike sada su izložene u novoj zgradi matematike na Auburn University.
Matematičari Napravili Najpravednije Kocke Na Svetu — Pet Kocki Sa Po 60 Strana Koje Nikada Ne Daju Izjednačenje
Mathematician Eric Harshbarger spent more than a decade developing these five 60-sided dice, which can determine turn order with perfect fairness. | Credit: Auburn University
Tokom večere na konvenciji oko 2010. godine, dizajner društvenih igara James Ernest postavio je prijatelju, matematičaru Ericu Harshbargeru, jednostavno, ali izazovno pitanje: može li se napraviti skup kocki tako da bilo koji broj igrača — od dvoje do petoro ili više — uzme po jednu kocku, baci je i svaki ima potpuno jednake izglede da prvi krene, bez nerešenih rezultata i bez ponovnih bacanja?
Harshbarger nije imao odmah odgovor, ali je narednih 15 godina sistematski istraživao problem zajedno sa grupom saradnika. Rešenje je konačno postignuto: set od pet kocki sa po 60 strana (heksakontaedara), na kojima su, bez ponavljanja, ugravirani svi brojevi od 1 do 300. Svaka od pet kocki nosi jedinstvenu grupu brojeva, tako da bilo koji podskup igrača može da izabere bilo koje kocke i dobije potpuno fer šansu.
Zašto je problem težak?
Jednostavno rečeno, lako je izbeći nerešeno tako što se na sve plohove stave različiti brojevi. Pravi izazov bio je rasporediti te brojeve po kockama tako da fer šansa važi ne samo za ceo skup već i za svaki mogući podskup igrača. Dodatno, tim je otkrio da pravilne konfiguracije ne određuju samo ko će prvi krenuti — već i ceo redosled igrača: svaki mogući poredak (permutacija) igrača pojaviće se sa istom verovatnoćom. To svojstvo su nazvali permutaciona pravičnost.
Put do rešenja
Harshbarger je na početku sarađivao sa svojim prijateljem Robertom Fordom: za tri igrača dobili su rešenje raspoređivanjem brojeva 1–18 na tri standardne šestostrane kocke, a Ford je kasnije rukom konstruisao i četvorostrano rešenje sa četiri kocke po 12 strana. Međutim, pet igrača zahtevalo je eksponencijalno veću pretragu mogućih rasporeda — broj kombinacija bio je astronomskih razmera (navodno reda veličine 10^128), što onemogućava običan brute-force pristup.
The five go-first dice, each with 60 sides, are designed so that any subset of players can grab one, roll and have an equal chance of winning. Each of these dice carries a unique set of numbers from 1 to 300. | Credit: Eric Hashbarger
Posao su olakšale matematičke prečice: simetrije, obrasci i računski alati. Preokret se dogodio sredinom 2023., kada je kanadski softverski inženjer Paul Meyer, proučavajući obrasce četvorostrukih rešenja, razvio program koji je uspeo da pronađe traženu konfiguraciju pet kocki sa po 60 strana koja ispunjava sve uslove fer igre.
Od radionice do izložbe
Harshbarger je ranije ručno izrađivao setove (laserom gravirane 12-strane kocke i ručno istaknuti brojevi) i prodavao ih kupcima širom sveta pre nego što su mala preduzeća preuzela proizvodnju. Pošto je rešenje za pet igrača konačno bilo dovoljno kompaktno za proizvodnju, ono je postalo komercijalno izvodljivo.
Kao omaž ideji i da bi matematika bila vidljivija javnosti, Harshbarger je izradio pet velikih drvenih replika novih kocki — svaki heksakontaedar od različitog drveta (bor, topola, hrast, orah i mahagonij) — koje su postavljene u novoj zgradi Matematičkog odseka na Auburn University. Skulpture služe kao privlačan primer geometrije i matematičkih problema koji su lako razumljivi, a teško rešivi.
"Cilj je da ljudi ne mogu da prođu pored ovih objekata ravnodušno. Kad ih vide, pomisle: 'I ovo je matematika i to je zanimljivo.'" — Eric Harshbarger
Šta ovo znači za igrače? Ako imate set ovih kocki, svaki igrač može uzeti po jednu i baciti je: nema neriješenih rezultata, ne treba ponovnih bacanja, i svi igrači (bez obzira na koji podskup kocki su izabrali) imaju jednake šanse. Osim praktične vrednosti u igrama, rešenje je lep primer kombinatorike, simetrije i primene računarskih metoda u rešavanju naizgled prostih, ali dubokih problema.
Pomozite nam da budemo bolji.
